2022年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷).docx

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数 学(理科)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设全集,集合M满足,则( )A B C D2已知,且,其中a,b为实数,则( )A B C D3已知向量满足,则( )A B C1 D24嫦娥二号卫星在完成

2、探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列:,依此类推,其中则( )A B C D5设F为抛物线的焦点,点A在C上,点,若,则( )A2 B C3 D6执行下边的程序框图,输出的( )A3 B4 C5 D67在正方体中,E,F分别为的中点,则( )A平面平面 B平面平面C平面平面 D平面平面8已知等比数列的前3项和为168,则( )A14 B12 C6 D39已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )A B C D10某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一

3、盘,各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为,且记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )Ap与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C该棋手在第二盘与乙比赛,p最大 D该棋手在第二盘与丙比赛,p最大11双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C交于M,N两点,且,则C的离心率为( )A B C D12已知函数的定义域均为R,且若的图像关于直线对称,则( )A B C D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为_14过四点中的三点的一个圆的方程为_

4、15记函数的最小正周期为T,若,为的零点,则的最小值为_16己知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点若,则a的取值范围是_三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(12分)记的内角的对边分别为,已知(1)证明:;(2)若,求的周长18(2分)如图,四面体中,E为的中点(1)证明:平面平面;(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值19(12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,

5、测量每棵树的根部横截面积(单位:)和材积量(单位:),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树

6、木的总材积量的估计值附:相关系数20(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点(1)求E的方程;(2)设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足证明:直线HN过定点21(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在区间各恰有一个零点,求a的取值范围(二)选考题,共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为(1)写出l的直角坐标

7、方程;(2)若l与C有公共点,求m的取值范围23选修4-5:不等式选讲(10分) 已知a,b,c都是正数,且,证明:(1);(2)2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)参考答案注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. A 2. A 3. C. 4. D

8、5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12. D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 14. 或或或;15. 16. 三、解答题:共0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17. (1)证明:因为,所以,所以,即,所以;(2)解:因为,由(1)得,由余弦定理可得, 则,所以,故,所以,所以的周长为.18. (1)因为,E为的中点,所以;在和中,因为,所以,所以,又因为E为的中点,所以;又因为平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.(2)连

9、接,由(1)知,平面,因为平面,所以,所以,当时,最小,即的面积最小.因为,所以,又因为,所以是等边三角形,因为E为的中点,所以,因为,所以,在中,所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的一个法向量为,则,取,则,又因为,所以,所以,设与平面所成的角的正弦值为,所以,所以与平面所成的角的正弦值为.19. (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为,平均一棵的材积量为(2)则(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,可得,解之得则该林

10、区这种树木的总材积量估计为20. (1)解:设椭圆E的方程为,过,则,解得,所以椭圆E的方程为:.(2),所以,若过点的直线斜率不存在,直线.代入,可得,代入AB方程,可得,由得到.求得HN方程:,过点.若过点的直线斜率存在,设.联立得,可得,且联立可得可求得此时,将,代入整理得,将代入,得显然成立,综上,可得直线HN过定点21. (1)的定义域为当时,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为(2)设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单

11、调递减当单调递增所以当当所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减有而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为(二)选考题,共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22. (1)因l:,所以,又因为,所以化简为,整理得l的直角坐标方程:(2)联立l与C的方程,即将,代入中,可得,所以,化简为,要使l与C有公共点,则有解,令,则,令,对称轴为,开口向上,所以,所以m的取值范围为.选修4-5:不等式选讲23. (1)证明:因为,则,所以,即,所以,当且仅当,即时取等号(2)证明:因为,所以,所以,当且仅当时取等号

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